Una nueva y sorprendente solución al famoso «rompecabezas de los 36 oficiales» ofrece una forma novedosa de codificar información cuántica.
En 1779, el matemático suizo Leonhard Euler planteó un rompecabezas que desde entonces se ha hecho famoso: Seis regimientos del ejército tienen cada uno seis oficiales de seis rangos diferentes. ¿Pueden organizarse los 36 oficiales en un cuadrado de 6 por 6 de modo que ninguna fila o columna repita un rango o regimiento?
El rompecabezas se resuelve fácilmente cuando hay cinco filas y cinco regimientos, o siete filas y siete regimientos. Pero después de buscar en vano una solución para el caso de los 36 oficiales, Euler concluyó que “tal arreglo es imposible, aunque no podemos dar una demostración rigurosa de ello”. Más de un siglo después, el matemático francés Gaston Tarry demostró que, de hecho, no había forma de colocar a los 36 oficiales de Euler en un cuadrado de 6 por 6 sin repetición. En 1960, los matemáticos usaron computadoras para demostrar que existen soluciones para cualquier número de regimientos y grados superior a dos, excepto, curiosamente, seis.
historia original reimpreso con permiso de Revista Cuantauna publicación editorialmente independiente de la Fundación Simons cuya misión es mejorar la comprensión pública de la ciencia al cubrir los desarrollos y tendencias de investigación en matemáticas y ciencias físicas y de la vida.
Acertijos similares han fascinado a la gente durante más de 2000 años. Las culturas de todo el mundo han creado «cuadrados mágicos», conjuntos de números que suman la misma suma a lo largo de cada fila y columna, y «cuadrados latinos» llenos de símbolos que aparecen una vez por fila y columna. Estas plazas se han utilizado en el arte y la planificación urbana, y solo por diversión. Un cuadrado latino popular, Sudoku, tiene subcuadrados que también carecen de símbolos repetidos. El rompecabezas de los 36 oficiales de Euler pide un «cuadrado latino ortogonal», en el que dos conjuntos de propiedades, como rangos y regimientos, satisfacen las reglas del cuadrado latino simultáneamente.
Una cuadrícula de cinco por cinco se puede llenar con piezas de ajedrez de cinco rangos diferentes y cinco colores diferentes, de modo que ninguna fila o columna repita un rango o color.
Pero mientras que Euler pensó que no existe tal cuadrado de 6 por 6, recientemente el juego ha cambiado. En un papel publicado en línea y enviado a Physical Review Letters, un grupo de físicos cuánticos en India y Polonia demuestra que es posible organizar 36 oficiales de una manera que cumpla con los criterios de Euler, siempre que los oficiales puedan tener una combinación cuántica de rangos y regimientos. El resultado es el último de una línea de trabajo que desarrolla versiones cuánticas de rompecabezas de cuadrados mágicos y cuadrados latinos, que no es solo diversión y juegos, sino que tiene aplicaciones para la comunicación cuántica y la computación cuántica.
“Creo que su papel es muy hermoso”, dijo Gema de las Cuevas, un físico cuántico de la Universidad de Innsbruck que no participó en el trabajo. “Hay mucha magia cuántica ahí. Y no solo eso, sino que se puede sentir a lo largo del papel su amor por el problema”.
La nueva era del rompecabezas cuántico comenzó en 2016, cuando jamie vicario de la Universidad de Cambridge y su alumno Ben Musto tuvieron la idea de que las entradas que aparecen en cuadrados latinos podrían hacerse cuánticas.
En la mecánica cuántica, los objetos como los electrones pueden estar en una «superposición» de múltiples estados posibles: aquí y allá, por ejemplo, u orientados magnéticamente tanto hacia arriba como hacia abajo. (Los objetos cuánticos permanecen en este limbo hasta que se miden, momento en el que se establecen en un estado). Las entradas de los cuadrados latinos cuánticos también son estados cuánticos que pueden estar en superposiciones cuánticas. Matemáticamente, un estado cuántico está representado por un vector, que tiene una longitud y dirección, como una flecha. Una superposición es la flecha que se forma al combinar varios vectores. Análogamente al requisito de que los símbolos a lo largo de cada fila y columna de un cuadrado latino no se repitan, los estados cuánticos a lo largo de cada fila o columna de un cuadrado latino cuántico deben corresponder a vectores que son perpendiculares entre sí.
Los cuadrados latinos cuánticos fueron rápidamente adoptados por una comunidad de físicos teóricos y matemáticos interesados en sus propiedades inusuales. El año pasado, los físicos matemáticos franceses Ion Nechita y Jordi Pillet crearon una versión cuántica de Sudoku—SudoQ. En lugar de usar los números enteros del 0 al 9, en SudoQ, las filas, las columnas y los subcuadrados tienen cada uno nueve vectores perpendiculares.
Estos avances llevaron Adán Burchardt, investigador posdoctoral de la Universidad Jagiellonian de Polonia, y sus colegas para reexaminar el viejo acertijo de Euler sobre los 36 oficiales. ¿Y si, se preguntaban, los oficiales de Euler fueran hechos cuánticos?
En la versión clásica del problema, cada entrada es un oficial con un rango y regimiento bien definidos. Es útil concebir a los 36 oficiales como coloridas piezas de ajedrez, cuyo rango puede ser rey, reina, torre, alfil, caballo o peón, y cuyo regimiento está representado por rojo, naranja, amarillo, verde, azul o morado. Pero en la versión cuántica, los oficiales se forman a partir de superposiciones de rangos y regimientos. Un oficial podría ser una superposición de un rey rojo y una reina naranja, por ejemplo.
Críticamente, los estados cuánticos que componen estos oficiales tienen una relación especial llamada entrelazamiento, que implica una correlación entre diferentes entidades. Si un rey rojo está enredado con una reina naranja, por ejemplo, incluso si el rey y la reina están ambos en superposiciones de múltiples regimientos, observar que el rey es rojo te dice inmediatamente que la reina es naranja. Debido a la naturaleza peculiar del enredo, los oficiales a lo largo de cada línea pueden ser todos perpendiculares.
La teoría parecía funcionar, pero para demostrarlo, los autores tuvieron que construir una matriz de 6 por 6 llena de oficiales cuánticos. Una gran cantidad de posibles configuraciones y enredos significaba que tenían que depender de la ayuda de la computadora. Los investigadores conectaron una casi solución clásica (una disposición de 36 oficiales clásicos con solo unas pocas repeticiones de rangos y regimientos en una fila o columna) y aplicaron un algoritmo que modificó la disposición hacia una verdadera solución cuántica. El algoritmo funciona un poco como resolver un Cubo de Rubik con fuerza bruta, donde arreglas la primera fila, luego la primera columna, la segunda columna y así sucesivamente. Cuando repitieron el algoritmo una y otra vez, el conjunto de rompecabezas se acercó más y más a ser una verdadera solución. Finalmente, los investigadores llegaron a un punto en el que podían ver el patrón y completar a mano las pocas entradas restantes.
En cierto sentido, se demostró que Euler estaba equivocado, aunque no podía haber sabido, en el siglo XVIII, sobre la posibilidad de oficiales cuánticos.
“Cierran el libro de este problema, que ya es muy lindo”, dijo Nechita. “Es un resultado muy bonito, y me gusta como lo obtienen.”
Una característica sorprendente de su solución, según el coautor Suhail Rather, físico del Instituto Indio de Tecnología de Madrás en Chennai, fue que los rangos de los oficiales se enredan solo con los rangos adyacentes (reyes con reinas, torres con alfiles, caballos con peones) y regimientos. con regimientos adyacentes. Otra sorpresa fueron los coeficientes que aparecen en las entradas del cuadrado latino cuántico. Estos coeficientes son números que te dicen, esencialmente, cuánto peso dar a diferentes términos en una superposición. Curiosamente, la relación de los coeficientes en la que aterrizó el algoritmo fue Φ, o 1,618…, la famosa proporción áurea.
La solución también es lo que se conoce como un «estado entrelazado absolutamente máximo» (AME), una disposición de objetos cuánticos que se cree que es importante para una serie de aplicaciones, incluida la corrección de errores cuánticos: formas de almacenar información de forma redundante en computadoras cuánticas para que sobrevive incluso si hay corrupción de datos. En un AME, las correlaciones entre las medidas de los objetos cuánticos son tan fuertes como pueden ser: si Alice y Bob tienen monedas enredadas, y Alice lanza su moneda y obtiene cara, sabe con seguridad que Bob tiene cruz y viceversa. Dos monedas se pueden enredar al máximo, y también tres, pero no cuatro: si Carol y Dave se unen al lanzamiento de la moneda, Alice nunca puede estar segura de lo que obtiene Bob.
La nueva investigación demuestra, sin embargo, que si tiene un conjunto de cuatro dados enredados, en lugar de monedas, estos pueden enredarse al máximo. La disposición de los dados de seis caras es equivalente al cuadrado latino cuántico de 6 por 6. Debido a la presencia de la proporción áurea en su solución, los investigadores lo denominaron «AME dorado».
“Creo que es muy poco trivial”, dijo De las Cuevas. “No solo que existe, sino que brindan el estado de manera explícita y lo analizan”.
Los investigadores han ideado previamente otros AME comenzando con códigos clásicos de corrección de errores y encontrando versiones cuánticas análogas. Pero el AME dorado recién descubierto es diferente, sin un análogo criptográfico clásico. Burchardt sospecha que podría ser el primero de una nueva clase de corrección de errores cuánticos códigos. Por otra parte, podría ser igualmente interesante si el AME dorado sigue siendo único.
Nota del editor: el autor de este artículo es pariente de un editor de Physical Review Letters, donde se envió el artículo sobre cuadrados latinos cuánticos para su publicación. Los dos no han discutido el papel.
historia original reimpreso con permiso de Revista Cuanta, una publicación editorialmente independiente de la Fundación Simons cuya misión es mejorar la comprensión pública de la ciencia al cubrir los desarrollos y tendencias de investigación en matemáticas y ciencias físicas y de la vida.
